Question

已知等差数列{a_n}是递增数列，且满足a₄•a₇=15，a₃+a₈=8．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=

1

9an-1an

（n≥2），b₁=

1

3

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）根据等差数列的性质可知a₃+a₈=a₄+a₇，求得a₄+a₇的值，进而利用a₄•a₇判断出a₄，a₇为方程的两根据，则a₄和a₇可求，进而利用等差数列的性质可求得公差d，则等差数列的通项公式可得．
（2）把（1）求得的a_n代入bn=

1

9an-1an

中求得b_n，进而用裂项法求得数列的前n项的和．

解答：解：（1）根据题意：a₃+a₈=8=a₄+a₇，a₄•a₇=15，知：a₄，a₇是方程x²-8x+15=0的两根，且a₄＜a₇
解得a₄=3，a₇=5，设数列{a_n}的公差为d
由a7=a4+(7-4)•d，得d=

2

3

．
故等差数列{a_n}的通项公式为：an=a4+(n-4)•d=3+(n-4)•

2

3

=

2n+1

3

（2）bn=

1

9an-1an

=

1

9( 2 3 n- 1 3 )( 2 3 n+ 1 3 )

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
又b1=

1

3

=

1

2

(1-

1

3

)
∴Sn=b1+b2++bn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

++

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

点评：本题主要考查了等差数列的确定和数列的求和．应熟练掌握诸如公式法，错位想减法，裂项法，叠加法等常用的数列求和的方法．