Question

在△ABC中，分别根据下列条件，判断三角形的形状．
（1）（B为锐角）；
（2）sinA=2cosCsinB；
（3）A、B、C成等差数列，a，b，c成等比数列
（4）acosB+bcosC+ccosA=bcosA+ccosB+acosC；
（5）；
（6）（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B）．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由对数的运算性质化简，可得，从而可求B，再利用正弦定理代入可求A，C
（2）利用正弦、余弦定理化简可得
（3））∵A、B、C成等差数列，∴A+C=2B，从而可得A+C=，B=，由a、b、c成等比数列可得b²=ac，结合已知及正弦定理可求
（4）利用余弦定理可得由余弦定理可得
=
整理可得，从 而可得a=b=c
（5）先把已知整理可得，a²+b²-c²=ab，利用余弦定理可求C，及A+B，再由代入可求
（6））由（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B）可得a²[sin（A-B）-sin（A+B）]+b²[sin（A-B）+sin（A+B）]=0
整理可得sin2A=sin2B，从而可得
解答：解：（1）∵lga-lgc=lgsinB=-lg
∴∴
∵B为锐角，∴，
由正弦定理可得，，
整理可得cosC=0∴
∴△ABC为等腰直角三角形
（2）∵sinA=2cosCsinB
由正弦定理及余弦定理可得，a=b×
化简可得，b=c
所以△ABC为等腰三角形
（3）∵A、B、C成等差数列，∴A+C=2B，从而可得A+C=，B=
∵a、b、c成等比数列∴b²=ac
由正弦定理可得
∴∴sinA，
整理可得，则B=C=，
∴三角形△ABC为等边三角形
（4）∵acosB+bcosC+ccosA=bcosA+ccosB+acosC
由余弦定理可得
=
整理可得
∴
整理可得
∴a=b或a=c或b=c
三角形△ABC为等腰三角形
（5）由已知可得，a³+b³-c³=ac²+bc²-c³
∴（a+b）（a²-ab+b²）=（a+b）c²
∴a²+b²-c²=ab
由余弦定理可得，∴，
∵
∴sinA，
整理可得，则B=C=，
三角形△ABC为等边三角形
（6）（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B）
可得a²[sin（A-B）-sin（A+B）]+b²[sin（A-B）+sin（A+B）]=0
a²sinBcosA=b²sinAcosB
由正弦定理sin²AsinBcosA=sin²BsinAcosB
整理可得sin2A=sin2B，从而可得2A=2B或2A+2B=π

∴三角形△ABC为等腰三角形或直角三角形
点评：本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理综合解三角形，判断三角形的形状，还考查了三角函数的公式，属于对基本知识的求解，但要体会在化简中的技巧．