Question

8．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，PA=BC=AC=4，D为PC的中点．
（1）求证：AD⊥平面PBC；
（2）在∠ACB的平分线上确定一点Q，使得PQ∥平面ABD，并求此时PQ的长．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥平面ABC，知PA⊥BC，由AC⊥BC，知BC⊥平面PAC，从而得到BC⊥AD．由此能够证明AD⊥平面PBC．
（2）取AB的中点O，连接CO并延长至Q，使得CQ=2CO，利用线面平行的判定可知点Q即为所求，证明ACBQ为平行四边形，即可求出PQ的长．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
又AC⊥BC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥AD．
由在△PAC中，PA=AC=4，D为PC中点，所以AD⊥PC，
所以AD⊥平面PBC．
（2）如图取AB的中点O，连接CO并延长至Q，使得CQ=2CO，点Q即为所求．   …（7分）
因为O为CQ中点，所以PQ∥OD，…（8分）
因为PQ?平面ABD，OD?平面ABD，所以PQ∥平面ABD…（10分）
连接AQ，BQ，四边形ACBQ的对角线互相平分，
所以ACBQ为平行四边形，所以AQ=4，…（11分）
又PA⊥平面ABC，所以在直角△PAQ中，PQ=$\sqrt{A{P}^{2}+A{Q}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．   …（13 分）

点评 本题主要考查了线面垂直的判定，考查了线面平行，考查学生空间想象能力，推理论证能力，分析解决问题的能力，正确运用线面垂直的判定，线面平行的判定定理是关键，属于中档题．