Question

16．已知|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=4，$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为120°，则使向量$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$与k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角是锐角的实数k的取值范围是（$\frac{5-\sqrt{21}}{2}$，1）∪（1，$\frac{5+\sqrt{21}}{2}$）．

Answer 1

分析 利用数量积大于零解出k的范围，去掉共线的特殊情况．

解答 解：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2×4×cos120°=-4．
∴（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）•（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=k${\overrightarrow{a}}^{2}$+k${\overrightarrow{b}}^{2}$+（k²+1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-4k²+20k-4．
∵向量$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$与k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角是锐角，∴-4k²+20k-4＞0．解得$\frac{5-\sqrt{21}}{2}$＜k＜$\frac{5+\sqrt{21}}{2}$．
若向量$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$与k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$方向相同，则$\frac{1}{k}=k＞0$，则k=1．
k的取值范围是（$\frac{5-\sqrt{21}}{2}$，1）∪（1，$\frac{5+\sqrt{21}}{2}$）．
故答案为（$\frac{5-\sqrt{21}}{2}$，1）∪（1，$\frac{5+\sqrt{21}}{2}$）．

点评 本题考查了平面向量的数量积及夹角计算，要特别考虑共线的特殊情况．