Question

18．已知数列|a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n+a_n=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$，n∈N^*．
（Ⅰ）证明：{a_n-n}是等比数列；
（Ⅱ）设b_n=2ⁿa_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系可得2a_n-a_n-1=n+1，变形a_n-n=$\frac{1}{2}$[a_n-1-（n-1）]，即可证明；
（II）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （I）证明：∵S_n+a_n=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$，n∈N^*，
∴当n=1时，2a₁=3，解得a₁=$\frac{3}{2}$．
当n≥2时，S_n-1+a_n-1=$\frac{n（n+1）}{2}$，可得2a_n-a_n-1=n+1，
∴a_n-n=$\frac{1}{2}$[a_n-1-（n-1）]，
∴{a_n-n}是等比数列，首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$．
（II）解：由（I）可得：a_n=n+$（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴b_n=2ⁿa_n=n•2ⁿ+1，
令数列{n•2ⁿ}的前n项和为A_n．
A_n=2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
2A_n=2²+2•2³+…（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-A_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴A_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2+n．

点评 本题考查了递推关系、“错位相减法”与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．