Question

13．如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，求向量$\overrightarrow{AC}$分别与向量$\overrightarrow{A′B′}$，$\overrightarrow{B′A′}$，$\overrightarrow{AD′}$，$\overrightarrow{CD′}$，$\overrightarrow{B′D′}$的夹角．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{{A}^{'}{B}^{'}}$=$\overrightarrow{AB}$，得∠BAC是向量$\overrightarrow{AC}$分别与向量$\overrightarrow{A′B′}$的夹角，由$\overrightarrow{{B}^{'}{A}^{'}}$=-$\overrightarrow{AB}$，得∠BAC是向量$\overrightarrow{AC}$分别与向量$\overrightarrow{A′B′}$的夹角的补角，由已知∠CAD′是向量$\overrightarrow{AC}$与向量$\overrightarrow{AD′}$的夹角，∠ACD′是向量$\overrightarrow{AC}$与向量$\overrightarrow{CD′}$的夹角，由$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{{B}^{'}{D}^{'}}$，AC⊥BD，得$\overrightarrow{AC}$与向量$\overrightarrow{B′D′}$的夹角，由此能求出结果．

解答 解：∵$\overrightarrow{{A}^{'}{B}^{'}}$=$\overrightarrow{AB}$，∴∠BAC是向量$\overrightarrow{AC}$分别与向量$\overrightarrow{A′B′}$的夹角，
∵AB=BC，AB⊥BC，
∴∠BAC=45°，
∴向量$\overrightarrow{AC}$与向量$\overrightarrow{A′B′}$的夹角为45°；
∵$\overrightarrow{{B}^{'}{A}^{'}}$=-$\overrightarrow{AB}$，∴∠BAC是向量$\overrightarrow{AC}$分别与向量$\overrightarrow{A′B′}$的夹角的补角，
∵AB=BC，AB⊥BC，
∴∠BAC=45°，
∴向量$\overrightarrow{AC}$与向量$\overrightarrow{B′A′}$的夹角为135°；
∠CAD′是向量$\overrightarrow{AC}$与向量$\overrightarrow{AD′}$的夹角，∠ACD′是向量$\overrightarrow{AC}$与向量$\overrightarrow{CD′}$的夹角，
∵AD′=AC=D′C，∴∠CAD′=∠ACD'=60°，
∴向量$\overrightarrow{AC}$与向量$\overrightarrow{AD′}$的夹角为60°，向量$\overrightarrow{AC}$与向量$\overrightarrow{CD′}$的夹角为120°；
∵$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{{B}^{'}{D}^{'}}$，AC⊥BD，∴$\overrightarrow{AC}$与向量$\overrightarrow{B′D′}$的夹角为90°．

点评 本题考查向量与向量的夹角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．