Question

16．已知函数f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），其中常数ω＞0；
（1）若y=f（x）在[0，1]内至少存在10个最大值，求ω的最小值；
（2）令ω=1，将函数y=f（x）的图象上的所有点的横坐标都缩小为原来的$\frac{1}{2}$，再向左平移$\frac{π}{12}$个单位，得到函数y=g（x）的图象，若g（x）=-1在区间[m，n]（m，n∈R且m＜n）内至少有20个解，在所有满足上述条件的[m，n]中，求n-m的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知$\frac{π}{3ω}$+9T₁≤1，由T₁=$\frac{2π}{ω}$，代入即可求得ω的最小值；
（2）由题意可知求得g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），则sin（2x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，解得：x=kπ-$\frac{π}{4}$或x=kπ+$\frac{5π}{12}$   k∈Z，则（n-m）_min=min{$\frac{3π}{4}$+9T₂-$\frac{5π}{12}$，$\frac{5π}{12}$+10T₂-$\frac{3π}{4}$}=min{9T₂+$\frac{π}{3}$，10T₂-$\frac{π}{3}$}=min{$\frac{28π}{3}$，$\frac{29π}{3}$}=$\frac{28π}{3}$，即可求得n-m的最小值．

解答 解：（1）由题意：$\frac{π}{3ω}$+9T₁≤1，即$\frac{π}{3ω}$+9•$\frac{2π}{ω}$≤1，T₁函数f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）的最小正周期，T₁=$\frac{2π}{ω}$，
则ω≥$\frac{π}{3}$+18π=$\frac{55π}{3}$
∴ω的最小值为$\frac{55π}{3}$；…（6分）
（2）由题意：f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$），将函数y=f（x）的图象上的所有点的横坐标都缩小为原来的$\frac{1}{2}$，
f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），向左平移$\frac{π}{12}$个单位，g（x）=2sin[2（x+$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），由g（x）=-1得：sin（2x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
∴2x+$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{6}$或2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{7π}{6}$   k∈Z 
则x=kπ-$\frac{π}{4}$或x=kπ+$\frac{5π}{12}$   k∈Z
∴（n-m）_min=min{$\frac{3π}{4}$+9T₂-$\frac{5π}{12}$，$\frac{5π}{12}$+10T₂-$\frac{3π}{4}$}=min{9T₂+$\frac{π}{3}$，10T₂-$\frac{π}{3}$}=min{$\frac{28π}{3}$，$\frac{29π}{3}$}=$\frac{28π}{3}$，T₂函数g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的最小正周期，T₂=π
∴n-m的最小值为$\frac{28π}{3}$．…（12分）

点评 本题考查正弦的性质，y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查正弦函数的周期性，考查转化思想，属于中档题．