Question

8．如图所示，两个非共线向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$的夹角为θ，N为OB中点，M为OA上靠近A的三等分点，点C在直线MN上，且$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$（x、y∈R），则x²+y²的最小值为（　　）

• A． $\frac{4}{25}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{4}{9}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 根据向量的加法及向量的共线定理求得x=$\frac{2}{3}$λ，y=$\frac{1}{2}$μ=$\frac{1}{2}$（1-λ），0＜λ＜1，则x²+y²=（$\frac{2}{3}$λ）²+$\frac{1}{4}$（1-λ）²=$\frac{25}{36}$λ²-$\frac{λ}{2}$+$\frac{1}{4}$，0＜λ＜1，利用二次函数的性质，即可求得x²+y²的最小值．

解答 解：因为点C、M、N共线，则$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OM}$+μ$\overrightarrow{ON}$=$\frac{2}{3}$λ$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{2}$μ$\overrightarrow{OB}$，λ+μ=1，
由$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，
x=$\frac{2}{3}$λ，y=$\frac{1}{2}$μ=$\frac{1}{2}$（1-λ），0＜λ＜1
x²+y²=（$\frac{2}{3}$λ）²+$\frac{1}{4}$（1-λ）²=$\frac{25}{36}$λ²-$\frac{λ}{2}$+$\frac{1}{4}$，0＜λ＜1
设g（λ）=$\frac{25}{36}$λ²-$\frac{λ}{2}$+$\frac{1}{4}$，0＜λ＜1，
由二次函数的性质可知：当λ=$\frac{9}{25}$时，g（λ）取最小值，
最小值为g（$\frac{9}{25}$）=$\frac{4}{25}$，
∴则x²+y²的最小值为$\frac{4}{25}$，
故选A．

点评 本题考查向量的共线定理，向量加法的应用，二次函数的性质，考查计算能力，属于中档题．