Question

19．若椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4+k}=1\;（k＞0）$的两焦点和两顶点构成一个正方形，则k=4．

Answer 1

分析 根据题意，分析可得椭圆的焦点在y轴上，作出图形，分析可得b=c，由椭圆的几何性质可得a²=b²+c²=2b²，结合椭圆的方程可得k+4=2×4，解可得k的值，即可得答案．

解答 解：根据题意，椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4+k}=1\;（k＞0）$的焦点在y轴上，
设其焦点为F₁、F₂，若两焦点和两顶点构成一个正方形，则两顶点在x轴上，设x轴上两顶点问为A、B，如图所示，
若四边形AF₁BF₂为正方形，
则有b=c，
则a²=b²+c²=2b²，
则有k+4=2×4，
解可得k=4；
故答案为：4．

点评 本题考查椭圆的几何性质，注意椭圆的焦点在y轴上．