Question

12．已知函数f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象为C，则
①C关于直线x=$\frac{11π}{12}$对称；
②C关于点（$\frac{2π}{3}$，0）对称；
③f（x）在（$-\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$）上是增函数；
④由y=3sin2x的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位可以得到图象C，
以上结论正确的是为①②③．

Answer 1

分析 ①根据正弦函数的性质，2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，求得x，k=1时，x=$\frac{11π}{12}$，故①正确；
②由2x-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，解得：x=$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，当k=1时，x=$\frac{2π}{3}$，故②正确；
③由函数单调性可知-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，函数单调递增，即可求得x取值范围，当k=0时，$-\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{5π}{12}$，故③正确；
④根据函数的图象变换求得3sin（2x-$\frac{2π}{3}$）≠3sin（2x-$\frac{π}{3}$），故④错误，

解答 解：①函数f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{3}$）的对称轴2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
则x=$\frac{5π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，当k=1时，x=$\frac{11π}{12}$，
则C关于直线x=$\frac{11π}{12}$对称；
故①正确；
②由题意可知：函数f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{3}$），由2x-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，解得：x=$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
则C的对称中心为（$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，0），k∈Z，
当k=1时，x=$\frac{2π}{3}$，则C关于点（$\frac{2π}{3}$，0）对称；
故②正确；
③由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，函数f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{3}$）单调递增，
解得：$-\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{12}$+kπ，k∈Z，
当k=0时，$-\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{5π}{12}$，
∴f（x）在（$-\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$）上是增函数；
故③正确；
④y=3sin2x的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位y=3sin2（x-$\frac{π}{3}$）=3sin（2x-$\frac{2π}{3}$）≠3sin（2x-$\frac{π}{3}$），
故④错误，
故答案为：①②③．

点评 本题考查y=Asin（ωx+φ）的性质，考查函数对称性，单调性及图象变换，考查转化思想，属于中档题．