Question

20．已知等比数列{a_n}的公比是q，首项a₁＜0，前n项和为S_n，设a₁，a₄，a₃-a₁成等差数列，若S_k＜5S_k-4，则正整数k的最大值是（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 14
• D． 15

Answer 1

分析 运用等差数列的中项的性质，结合等比数列的定义，可得公比，再由等比数列的求和公式，以及不等式的解法，即可得到所求最大值．

解答 解：若a₁，a₄，a₃-a₁成等差数列，
可得2a₄=a₁+a₃-a₁=a₃，
即有公比q=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{1}{2}$，
由S_k＜5S_k-4，可得$\frac{{a}_{1}（1-\frac{1}{{2}^{k}}）}{1-\frac{1}{2}}$＜5•$\frac{{a}_{1}（1-\frac{1}{{2}^{k-4}}）}{1-\frac{1}{2}}$，
由a₁＜0，化简可得1-$\frac{1}{{2}^{k}}$＞5-$\frac{5}{{2}^{k-4}}$，
即为2^k＜$\frac{79}{4}$，可得正整数k的最大值为k为4．
故选：A．

点评 本题考查等比数列的求和公式和等差数列的中项的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．