Question

已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
（Ⅲ）求证：（，e是自然对数的底数）.

Answer 1

（Ⅰ）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅱ）实数a的取值范围是；（Ⅲ）详见解析.

试题分析：（Ⅰ）当时，求函数的单调区间,即判断在各个区间上的符号,只需对求导即可；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，即恒成立，令 （），只需求出最大值,让最大值小于等于零即可,可利用导数求最值,从而求出的取值范围；（Ⅲ）要证（成立,即证,即证,由（Ⅱ）可知当时，在上恒成立，又因为,从而证出.
试题解析：（Ⅰ）当时，（），（），
由解得，由解得,故函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（Ⅱ）因当时，不等式恒成立，即恒成立，设 （），只需即可．由，
（ⅰ）当时，，当时，，函数在上单调递减，故 成立；
（ⅱ）当时，由，因，所以，①若，即时，在区间上，，则函数在上单调递增，在 上无最大值（或：当时，），此时不满足条件；②若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样 在上无最大值，不满足条件 ；
（ⅲ）当时，由，∵，∴，
∴，故函数在上单调递减，故成立．
综上所述，实数a的取值范围是．
（Ⅲ）据（Ⅱ）知当时，在上恒成立，又，
∵ 
 ，∴．