Question

已知a>0，函数.
(1)若，求函数的极值，
(2)是否存在实数，使得成立？若存在，求出实数的取值集合；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）极小值，没有极大值；（2）存在，.

试题分析：本题主要考查导数的应用、不等式等基础知识，考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力,考查函数、转化与化归、特殊与一般等数学思想方法.第一问，先求导数，判断函数的单调性，根据极值的定义求极值；第二问，是恒成立问题，设出函数，此题可以转化为求函数最值的问题，此题比较综合.
试题解析：（1）当时，，，
因为，所以当时，，当时，，所以函数在处取得极小值，函数没有极大值.      4分
（2）令，即，
，令，，
所以有两个不等根，，不妨设，
所以在上递减，在上递增，所以成立，
因为，所以，所以.
令，，
所以在上递增，在上递减，
所以，又，
所以代入得，
所以.       12分