Question

已知函数．
（1）当时，求函数的最大值；
（2）若函数没有零点，求实数的取值范围；

Answer 1

(1) ；（2）.

试题分析：(1)通过对函数求导，判函数的单调性，可求解函数的最大值，需注意解题时要先写出函数的定义域，切记“定义域优先”原则;(2) 将的零点问题转化为与图象交点个数问题，注意函数的图象恒过定点，由图象知当直线的斜率为时，直线与图象没有交点，当时，求出函数的最大值，让最大值小于零即可说明函数没有零点.
试题解析：（1）当时，      2分
定义域为，令，      
∵当，当，
∴内是增函数，上是减函数
∴当时，取最大值       5分
（2）①当，函数图象与函数图象有公共点，
∴函数有零点，不合要求；                            7分
②当时，      8分
令，∵，
∴内是增函数，上是减函数，  10分
∴的最大值是，
∵函数没有零点，∴，，     11分
因此，若函数没有零点，则实数的取值范围   12分