Question

如图，点是椭圆：的左焦点，、分别是椭圆的右顶点与上顶点，椭圆的离心率为，三角形的面积为，

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）对于轴上的点，椭圆上存在点，使得，求实数的取值范围；

(Ⅲ)直线与椭圆交于不同的两点、 (、异于椭圆的左右顶点)，若以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

 

Answer 1

解：（Ⅰ）由，即由，得   ，

,解得,

,,即椭圆的方程为；…………3分

（Ⅱ）,,设,则,

,,,

,,………………………5分

,,即；………………………7分

(Ⅲ)联立消得:,

设

,即，

，…………………………………………………………9分

若以为直径的圆过椭圆的右顶点，

则，即，…………11分

展开整理得：，

即，

通分化简得，即，

分解得，得或，即或，

当时，直线，即直线过定点

当时，直线，即直线过定点，但与右顶点重合，舍去，

综合知：直线过定点，该定点的坐标为.……