Question

（2012•普陀区一模）如图，已知圆锥体SO的侧面积为15π，底面半径OA和OB互相垂直，且OA=3，P是母线BS的中点．
（1）求圆锥体的体积；
（2）异面直线SO与PA所成角的大小（结果用反三角函数表示）．

Answer 1

分析：（1）根据圆锥侧面积公式，结合题中数据列式，可得圆锥的母线长，再用勾股定理算出高的长度，最后用圆锥体积公式可得该圆锥的体积．
（2）取OB中点H，连接PH、AH，在△POB中，利用中位线定理，得到PH∥SO，故∠APH（或其补角）即为直线SO与PA所成角．在Rt△AOH中，计算出AH的长，最后在Rt△PAH中，利用正切的定义，得到异面直线SO与PA所成角的大小为arctan

3 5

4

．

解答：解：（1）∵圆锥体SO的侧面积为15π，底面半径OA=3，
∴π•OA•SB=15π，得SB=5
Rt△SOB中，SO=

SB2-OB2

=4，即圆锥的高为4
∴圆锥体的体积为V=

1

3

π×3²×4=12π
（2）取OB中点H，连接PH、AH
∵△POB中，PH为中位线
∴PH∥SO，PH=

1

2

SO=2
故∠APH（或其补角）即为直线SO与PA所成角
∵SO⊥平面AOB，PH∥SO，
∴PH⊥平面AOB，可得PH⊥AH
∵△AOH中，AO⊥BO，HO=

1

2

BO=

3

2

∴AH=

AO2+HO2

=

3 5

2

∴Rt△PAH中，tan∠APH=

AH

PH

=

3 5

4

，得∠APH=arctan

3 5

4

（锐角），
因此，异面直线SO与PA所成角的大小为arctan

3 5

4

．

点评：本题给出圆锥一条母线的中点与底面圆上一点的连线，要我们求它与高线所成的角，着重考查了空间平行垂直的位置关系和异面直线所成角的求法，属于中档题．