Question

5．已知关于x的不等式x²-ax-2＞0的解集为{x|x＜-1或x＞b}（b＞-1）．
（1）求a，b的值；
（2）当m＞-$\frac{1}{2}$时，解关于x的不等式（mx+a）（x-b）＞0．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次不等式和对应方程的关系，结合根与系数的关系，即可求出a、b的值；
（2）讨论m=0以及m＞0，-$\frac{1}{2}$＜m＜0时，求出对应不等式的解集即可．

解答 解：（1）关于x的不等式x²-ax-2＞0的解集为{x|x＜-1或x＞b}（b＞-1），
∴-1，b是方程x²-ax-2=0的两实数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+b=a}\\{-1×b=-2}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=2；
（2）由（1）知，不等式可化为（mx+1）（x-2）＞0，
又m＞-$\frac{1}{2}$，
当m=0时，不等式化为x-2＞0，解得x＞2；
当m＞0时，不等式化为（x+$\frac{1}{m}$）（x-2）＞0，解得x＜-$\frac{1}{m}$，或x＞2；
当-$\frac{1}{2}$＜m＜0时，-$\frac{1}{m}$＞2，不等式化为（x+$\frac{1}{m}$）（x-2）＜0，解得2＜x＜-$\frac{1}{m}$；
综上，m＞0时，不等式的解集为{x|x＜-$\frac{1}{m}$，或x＞2}，
m=0时，不等式的解集为{x|x＞2}，
-$\frac{1}{2}$＜m＜0时，不等式的解集为{x|2＜x＜-$\frac{1}{m}$}．

点评 本题考查了分类讨论思想的应用问题，也考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，是综合性题目．