Question

在长方体AC′中，AB=AC=a，BB′=b（b＞a），连接BC′，过点B′作B′E⊥BC′交CC′于E．
（1）求证：AC′⊥平面EB′D′；
（2）求三棱锥C′-B′D′E的体积．

Answer 1

分析：（1）欲证AC′⊥平面EB′D′，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AC′与平面EB′D′内两相交直线垂直，而AC′⊥B′D′，AC′⊥B′E，满足定理条件；
（2）要求三棱锥C′-B′D′E的体积，可转化成求三棱锥E-B′D′C'的体积，根据B′E⊥BC′求出EC'，根据三棱锥的体积公式进行求解即可．

解答：（1）证明：由题意，长方体底面为正方形，
A′C′⊥B′D′，AC′⊥B′D′，
又∵B′E⊥BC′，
∴AC′⊥B′E，
∴AC′⊥平面EB′D′
（2）解：由∠B′C′B=∠B′EC′，又EC′=

a

tan∠B′EC′

=

a2

b

.
∴VC′-B′D′E=VE-B′C′D′=

1

3

×

1

2

a2×

a2

b

=

a4

6b

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．