Question

7．已知抛物线C₁：x²=2py（p＞0），点A（p，$\frac{p}{2}$）到抛物线C₁的准线的距离为2．
（Ⅰ）求抛物线C₁的方程；
（Ⅱ）过点A作圆C₂：x²+（y-a）²=1的两条切线，分别交抛物线于M，N两点，若直线MN的斜率为-1，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）由抛物线定义得：$\frac{p}{2}+\frac{p}{2}=2$，由此能求出抛物线C₁的方程．
（2）设直线AM，AN的斜率分别为k₁，k₂，将l_AM：y-1=k₁（x-2）代入x²=4y，得：x²-4k₁x+8k₁-4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线与圆相切、点到直线距离公式，能求出结果．

解答 解：（1）由抛物线定义可得：$\frac{p}{2}+\frac{p}{2}=2$，∴p=2，
∴抛物线C₁的方程为：x²=4y．…（4分）
（2）设直线AM，AN的斜率分别为k₁，k₂，
将l_AM：y-1=k₁（x-2）代入x²=4y，得：
x²-4k₁x+8k₁-4=0，$△=16（{k}_{1}-1）^{2}$＞0，
∴k₁∈R，且k₁≠1，
由韦达定理得：x_M=4k₁-2，同理x_N=4k₂-2，…（6分）
∴${k}_{MN}=\frac{{y}_{M}-{y}_{N}}{{x}_{M}-{x}_{N}}$=$\frac{1}{4}$（x_M+x_N）=k₁+k₂-1，…（8分）
又∵直线l_MN：y-1=k1（x-2）与圆相切，∴$\frac{|a+2{k}_{1}-1|}{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}}$，
整理可得：$3{{k}_{1}}^{2}+4{k}_{1}（a-1）+{a}^{2}-2a=0$，
同理$3{{k}_{2}}^{2}+4{k}_{2}（a-1）+{a}^{2}-2a=0$，…（10分）
∴k₁，k₂是方程3k²+4k（a-1）+a²-2a=0的两个根，…（11分）
∴k₁+k₂=-$\frac{4（a-1）}{3}$，代入k_MN=k₁+k₂-1=-1，
解得a=1．…（12分）

点评 本题考查抛物线方程的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、直线与圆相切、点到直线距离公式的合理运用．