Question

16．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$，g（x）=$\frac{m}{x}$-$\frac{3}{{x}^{2}}$-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＜$\frac{2x}{e}$-$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题可化为$m≤2lnx+x+\frac{3}{x}$对一切x∈（0，+∞）恒成立，令$h（x）=2lnx+x+\frac{3}{x}$，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出m的范围即可；
（Ⅲ）问题等价于$\frac{lnx}{x}＜\frac{2}{e}-\frac{x}{e^x}$，即证$f（x）＜\frac{2}{e}-\frac{x}{e^x}$，令$φ（x）=\frac{2}{e}-\frac{x}{e^x}$，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\frac{lnx}{x}$，得$f'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$
由f'（x）＞0，得0＜x＜e
∴f（x）的递增区间是（0，e），递减区间是（e，+∞）…（4分）
（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
可化为$m≤2lnx+x+\frac{3}{x}$对一切x∈（0，+∞）恒成立
令$h（x）=2lnx+x+\frac{3}{x}$，$h'（x）＞0=\frac{2}{x}+1-\frac{3}{x^2}=\frac{{{x^2}+2x-3}}{x^2}=\frac{（x+3）（x-1）}{x^2}，（x＞0）$
当x∈（0，1）时h'（x）＜0，即h（x）在（0，1）递减
当x∈（1，+∞）时h'（x）＞0，即h（x）在（1，+∞）递增
∴h（x）_min=h（1）=4，
∴m≤4，即实数m的取值范围是（-∞，4]…（8分）
（Ⅲ）证明：$lnx＜\frac{2x}{e}-\frac{x^2}{e^x}$等价于$\frac{lnx}{x}＜\frac{2}{e}-\frac{x}{e^x}$，即证$f（x）＜\frac{2}{e}-\frac{x}{e^x}$
由（Ⅰ）知$f（x）≤f（e）=\frac{1}{e}$，（当x=e时取等号）
令$φ（x）=\frac{2}{e}-\frac{x}{e^x}$，则$φ'（x）=\frac{x-1}{e^x}$，
易知φ（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增
∴$φ（x）≥φ（1）=\frac{1}{e}$（当x=1时取等号）
∴f（x）＜φ（x）对一切x∈（0，+∞）都成立
则对一切x∈（0，+∞），都有$lnx＜\frac{2x}{e}-\frac{x^2}{e^x}$成立．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．