Question

【题目】设a+b=2，b＞0，当 + 取得最小值时，a= ．

Answer 1

【答案】-2
【解析】解：∵a+b=2，b＞0， ∴ + = + ，（a＜2）；
设f（a）= + ，（a＜2），
作此函数的图象，如右图所示；
利用导数研究其单调性得，
当a＜0时，f（a）=﹣ + ，
f′（a）= ﹣ = ，
当a＜﹣2时，f′（a）＜0，当﹣2＜a＜0时，f′（a）＞0，
故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数，
∴当a=﹣2时， + 取得最小值 ；
同理，当0＜a＜2时，得到当a= 时，
+ 取得最小值 ；．
综合，则当a=﹣2时， + 取得最小值；
故答案为：﹣2．

由题意得 + = + ，（a＜2）；从而构造函数f（a）= + ，（a＜2），从而作函数的图象辅助，当a＜0时，f（a）=﹣ + ，f′（a）= ﹣ = ，从而确定函数的单调性及最值；同理确定当0＜a＜2时的单调性及最值，从而解得．