Question

（1）若不等式x²+4x+6-a≥0当-3≤x≤1时有解，求实数a的取值范围；
（2）对任意a∈[-1，1]，函数f（x）=x²+（a-4）x+4-2a的值恒大于零，求实数x的取值范围．

Answer 1

（1）不等式x²+4x+6-a≥0，即x²+4x+6≥a
因此，原不等式当-3≤x≤1时有解，
即y=x²+4x+6在[-3，1]上的最大值大于或等于a
∵y=x²+4x+6=（x+2）²+2，
在[-3，-2]上是减函数；在[-2，1]上是增函数；
∴当x=1时，y=x²+4x+6的最大值等于11
所以不等式x²+4x+6-a≥0当-3≤x≤1时有解时a≤11，即实数a的取值范围为（-∞，11]；
（2）∵f（x）=x²+（a-4）x+4-2a=a（x-2）+x²-4x+4，
可得f（x）=g（a）=a（x-2）+x²-4x+4，是关于a的一次函数
∴对任意a∈[-1，1]，函数f（x）=x²+（a-4）x+4-2a的值恒大于零，
即g（-1）＞0且g（1）＞0，可得

x2-5x+6＞0 x2-3x+2＞0

，解之得x＜1或＞3
即满足条件的实数x的取值范围为（-∞，1]∪[3，+∞）．