Question

（1）若不等式x²+4x+6-a≥0当-3≤x≤1时有解，求实数a的取值范围；
（2）对任意a∈[-1，1]，函数f（x）=x²+（a-4）x+4-2a的值恒大于零，求实数x的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）原不等式等价于x²+4x+6≥a，因此问题转化为函数y=x²+4x+6在[-3，1]上的最大值大于或等于a，结合二次函数的单调性算出当x=1时，y=x²+4x+6的最大值等于11，即可求出实数a的取值范围；
（2）函数化简为f（x）=g（a）=a（x-2）+x²-4x+4，是关于a的一次函数．因此根据一次函数的单调性，结合题意建立关于x的不等式组，解之即可得到实数x的取值范围．
解答：解：（1）不等式x²+4x+6-a≥0，即x²+4x+6≥a
因此，原不等式当-3≤x≤1时有解，
即y=x²+4x+6在[-3，1]上的最大值大于或等于a
∵y=x²+4x+6=（x+2）²+2，
在[-3，-2]上是减函数；在[-2，1]上是增函数；
∴当x=1时，y=x²+4x+6的最大值等于11
所以不等式x²+4x+6-a≥0当-3≤x≤1时有解时a≤11，即实数a的取值范围为（-∞，11]；
（2）∵f（x）=x²+（a-4）x+4-2a=a（x-2）+x²-4x+4，
可得f（x）=g（a）=a（x-2）+x²-4x+4，是关于a的一次函数
∴对任意a∈[-1，1]，函数f（x）=x²+（a-4）x+4-2a的值恒大于零，
即g（-1）＞0且g（1）＞0，可得，解之得x＜1或＞3
即满足条件的实数x的取值范围为（-∞，1]∪[3，+∞）．
点评：本题给出含有字母参数的函数，求不等式恒成立时参数的取值范围．着重考查了二次函数、一次函数的图象与性质和不等式恒成立的理解等知识，属于中档题．