Question

10．已知函数f（x）=$\frac{1}{{{4^x}-1}}$-a．
（1）求函数的定义域；
（2）若f（x）为奇函数，求a的值；
（3）判断在f（x）（0，+∞）上的单调性，并用定义证明．

Answer 1

分析 （1）根据函数的定义域的求解方法进行求解．
（2）根据函数奇偶性的定义建立方程进行求解．
（3）根据函数单调性的定义进行证明即可．

解答 解：（1）要使函数有意义，则4^x-1≠0，即4^x≠1，即x≠0，
即函数的定义域为{x|x≠0}；
（2）若f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），
即f（x）+f（-x）=0，
即$\frac{1}{{{4^x}-1}}$-a+$\frac{1}{{4}^{-x}-1}$-a=0．
即2a=$\frac{1}{{{4^x}-1}}$+$\frac{1}{{4}^{-x}-1}$=$\frac{1}{{{4^x}-1}}$+$\frac{{4}^{x}}{1-{4}^{x}}$=$\frac{1-{4}^{x}}{{4}^{x}-1}$=-1，
即a=$-\frac{1}{2}$；
（3）函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调递减，
设0＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{4}^{{x}_{1}}-1}$-$\frac{1}{{4}^{{x}_{2}}-1}$=$\frac{{4}^{{x}_{2}}-{4}^{{x}_{1}}}{（{4}^{{x}_{1}}-1）（{4}^{{x}_{2}}-1）}$，
∵0＜x₁＜x₂，
∴${4}^{{x}_{2}}$＞${4}^{{x}_{2}}$＞1，
则${4}^{{x}_{2}}$-1＞0，${4}^{{x}_{2}}$-1＞0，${4}^{{x}_{2}}$-${4}^{{x}_{2}}$＞0，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{4}^{{x}_{2}}-{4}^{{x}_{1}}}{（{4}^{{x}_{1}}-1）（{4}^{{x}_{2}}-1）}$＞0，
则f（x₁）＞f（x₂），
则f（x）（0，+∞）上的单调递减．

点评 本题主要考查函数定义域，函数奇偶性以及函数单调性的判断，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．