Question

已知圆C₁的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l₁：相切．
（1）求圆的标准方程；
（2）设点A为圆上一动点，AN⊥x轴于N，若动点Q满足：，（其中m为非零常数），试求动点Q的轨迹方程C₂；
（3）在（2）的结论下，当时，得到曲线C，与l₁垂直的直线l与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设圆的半径为r，圆心到直线l₁距离为d，则．由此能求出圆的方程．
（2）设动点Q（x，y），A（x，y），AN⊥x轴于N，N（x，0）由题意，（x，y）=m（x，y）+（1-m）（x，0），所以，由此能求出动点Q的轨迹方程．
（3）时，曲线C方程为，设直线l的方程为y=-x+b．设直线l与椭圆交点B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），联立方程，得7x²-8bx+4b²-12=0．由此能求出△OBD面积的最大值．
解答：解：（1）设圆的半径为r，圆心到直线l₁距离为d，则，2分
圆C₁的方程为x²+y²=4，2分
（2）设动点Q（x，y），A（x，y），AN⊥x轴于N，N（x，0）
由题意，（x，y）=m（x，y）+（1-m）（x，0），所以，2分
即：，将代入x²+y²=4，得，3分
（3）时，曲线C方程为，设直线l的方程为y=-x+b
设直线l与椭圆交点B（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
联立方程得7x²-8bx+4b²-12=0，1分
因为△=48（7-b²）＞0，解得b²＜7，且，2分
∵点O到直线l的距离，．
∴=，2分
（当且仅当b²=7-b²即时取到最大值），1分
∴△OBD面积的最大值为．1分．
点评：本题考查圆的方程和椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，具体涉及到圆的简单性质、椭圆的性质和应用、直线和圆锥曲线的位置关系的应用．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．