Question

已知曲线C:y=x³.

(1)求曲线C上横坐标为1处的切线方程;

(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?

Answer 1

分析:(1)利用求导公式求出导函数,然后求出f′(1)即为切线的斜率,进而求切线的方程;(2)利用方程组的解与曲线交点的关系,判断公共点的个数.

解:(1)由导数公式表,得f′(x)=3x²,

∴f′(1)=3.

由点斜式,得切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.

(2)由

消去y并整理,得(x-1)(x²+x-2)=0.

解得x₁=1,x₂=-2.

∴公共点为P(1,1)或P(-2,-8).

因此,切线与曲线C的公共点除了切点P(1,1)外,还有另外一点P(-2,-8).