Question

【题目】已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=4．

（Ⅰ）过原点O（0，0）作圆C的切线，切点分别为H、K，求直线HK的方程；

（Ⅱ）设定点M（-3，8），动点N在圆C上运动，以CM，CN为领边作平行四边形MCNP，求点P的轨迹方程；

（Ⅲ）平面上有两点A（1，0），B（-1，0），点P是圆C上的动点，求|AP|2+|BP|2的最小值；

（Ⅳ）若Q是x轴上的动点，QR，QS分别切圆C于R，S两点．试问：直线RS是否恒过定点？若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）3x+4y-21=0；（Ⅱ）（x+3）2+（y-8）2=4（x）；（Ⅲ）20； （Ⅳ）（3，3）.

【解析】

（Ⅰ）求出圆心坐标，写出以为直径的圆的方程，与已知圆的方程联立消去二次项即可得答案；（Ⅱ）设、，，根据中点坐标公式算出、中点坐标关于、和、的式子，根据平行四边形对角线互相平分建立关系式，解出用、表示、的式子，最后将点坐标代入已知圆方程，化简即得所求点的轨迹方程，最后检验去除杂点，可得答案；（Ⅲ）根据圆的标准方程，设出点的坐标，然后利用两点间距离公式，得到的表达式，即可求得的最小值；（Ⅳ）写出以为直径的圆的方程，与圆联立得：，再由直线系方程得答案．

（Ⅰ）由圆C：（x-3）2+（y-4）2=4，得圆心C（3，4），

则以OC为直径的圆的方程为，

联立，得3x+4y-21=0．

∴直线HK的方程为3x+4y-21=0；

（Ⅱ）设P（x，y），圆上的动点N（x0，y0），则

线段CP的中点坐标为（，），线段MN的中点坐标为（，），

又∵平行四边形的对角线互相平分，

∴=，=，

可得x0=x+6，y0=y-4．

∵N（x0，y0），即N（x+6，y-4）在圆上，

∴N点坐标应满足圆的方程，

则点P的轨迹方程为：（x+3）2+（y-8）2=4（x）；

（Ⅲ）设P（x，y），由两点间的距离公式知：|AP|2+|BP|2=2（x2+y2）+2=2|OP|2+2．

又P为圆上的点，∴|OP|min=|OC|-r=-2=3，

∴（|AP|2+|BP|2）min=20；

（Ⅳ）由题意∠CSQ=∠CRQ=，则R，S在以QC为直径的圆上，

设Q（a，0），则以QC为直径的圆的方程：（x-）2+（y-2）2=，

即x2+y2-（a+3）x-4y+3a=0，

与圆C：x2+y2-6x-8y+21=0联立得：-a（x-3）+3x+4y-21=0，

故无论a取何值时，直线RS恒过定点（3，3）．