Question

【题目】已知.

（1）若函数在区间上有极值，求实数的取值范围；

（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围；

（3）当，时，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）.

（3）见解析.

【解析】

（1）函数在区间有极值.在上有根，结合条件由函数的单调性可得函数有唯一极值点 ，由此得到的取值范围；
（2）构造函数，若关于的方程有实数解 有实数解
（法二）由分离系数，

构造函数 ，由题意可得， ．
（3）结合函数在区间为减函数可得， ，利用该结论分别把 代入叠加可证．

解：（1），

当时，；当时，；

函数在区间（0，1）上为增函数；在区间为减函数 ，

当时，函数取得极大值，而函数在区间有极值.

，解得；

（2）由（1）得的极大值为，令，所以当时，函数取得最小值，又因为方程有实数解，那么，即，所以实数的取值范围是：.

（另解：，，

令 ，所以 ，当时，

当时，；当时，

当时，函数取得极大值为

当方程有实数解时，.）

（3）函数在区间为减函数，而，

，即

，

即，而，

结论成立.