Question

【题目】已知．

（1）讨论的单调性；

（2）已知函数有两个极值点，求证：．

Answer 1

【答案】（1）当时，函数单调递减；当时，函数单调递增．（2）见解析.

【解析】

（1）先对函数求导，令，求出解为，从而可探究、随自变量的变化，结合导数与单调性的关系即可求解；

（2）由（1）可知，记，结合基本不等式可证明，从而可知在上单调递增，则可知，结合 的单调性可证明.

解：（1），记，则．

由， ，解得．

当时，，函数即单调递减；

当时，，函数即单调递增．

（2）由题意知有两个零点，为，不妨设，

由（1）可知，．所以.

记

，则，因为，

由均值不等式可得，

当且仅当，即时，等号成立．所以在上单调递增．

由，可得，即，

因为为函数的两个零点，所以，所以，

又，所以，又函数在上单调递减，

所以，即．