【题目】如图,直三棱柱中,
,
,
为
的中点.
(I)若为
上的一点,且
与直线
垂直,求
的值;
(Ⅱ)在(I)的条件下,设异面直线与
所成的角为45°,求直线
与平面
成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)取中点
,连接
,证明
,即可说明
,由底面为正方形,可求得
;
(Ⅱ)以为坐标原点,分别以
为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,求得各点的坐标,以及平面
的法向量为
,根据线面所成角的正弦值的公式即可求解。
(Ⅰ)证明:取中点
,连接
,有
,
因为,所以
,
又因为三棱柱为直三棱柱,
所以,
又因为,
所以,
又因为
所以
又因为,
平面
,
平面
,
所以,又因为
平面
,
所以,
因为,
所以,
连接,设
,因为
为正方形,
所以,又因为
所以,
又因为为
的中点,
所以为
的中点,
所以.
(Ⅱ)
如图以为坐标原点,分别以
为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
设,由(Ⅰ)可知
,
所以,
所以,
所以,
所以,
设平面的法向量为
,
则即
则的一组解为
.
所以
所以直线与平面
成角的正弦值为
.
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【题目】正数数列、
满足:
≥
,且对一切k≥2,k
,
是
与
的等差中项,
是
与
的等比中项.
(1)若,
,求
,
的值;
(2)求证:是等差数列的充要条件是
为常数数列;
(3)记,当n≥2(n
)时,指出
与
的大小关系并说明理由.
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【题目】下面给出四种说法:
①设、
、
分别表示数据
、
、
、
、
、
、
、
、
、
的平均数、中位数、众数,则
;
②在线性回归模型中,相关指数表示解释变量对于预报变量变化的贡献率,
越接近于
,表示回归的效果越好;
③绘制频率分布直方图时,各小长方形的面积等于相应各组的组距;
④设随机变量服从正态分布
,则
.
其中不正确的是( ).
A. ①B. ②C. ③D. ④
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【题目】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费(单位:千元)对年销售量
(单位:
)和年利润
(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费
和年销售量
数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中,
.
(1)根据散点图判断, 与
哪一个适宜作为年销售量
关于年宣传费
的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立关于
的回归方程;
(3)已知这种产品的年利润与
、
的关系为
.根据(2)的结果要求:年宣传费
为何值时,年利润最大?
附:对于一组数据,
,…,
其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,AB=BC=4,点E在线段AB上.过点E作EF∥BC交AC于点F,将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合),使得∠PEB=60°.
(1)求证:EF⊥PB.
(2)试问:当点E在线段AB上移动时,二面角PFCB的平面角的余弦值是否为定值?若是,求出其定值;若不是,说明理由.
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
:
,过点
的直线
的参数方程为:
(
为参数),直线
与曲线
分别交于
、
两点.
(1)写出曲线的直角坐标方程和直线
的普通方程;
(2)求线段的长和
的积.
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【题目】某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了50名乘客,统计其乘车等待时间(指乘客从进站口到乘上车的时间,乘车等待时间不超过40分钟).将统计数据按,
,
,
分组,制成频率分布直方图:
(1)求的值;
(2)记表示事件“在上班高峰时段某乘客在甲站乘车等待时间少于20分钟”,试估计
的概率;
(3)假设同组中的每个数据用该组区间左端点值来估计,记在上班高峰时段甲、乙两站各抽取的50名乘客乘车的平均等待时间分别为,
,求
的值,并直接写出
与
的大小关系.
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