Question

【题目】已知函数．

(1)求函数的单调区间及极值；

(2)设时，存在，使方程成立，求实数的最小值．

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为.函数有极大值且为，没有极小值.（2）

【解析】

（1）通过求导，得到导函数零点为，从而可根据导函数正负得到单调区间，并可得到极大值为，无极小值；（2）由最大值为且可将问题转化为有解；通过假设，求出的最小值，即为的最小值.

（1）由得：

令，则，解得

当时，

当时，

的单调递增区间为，单调递减区间为

当时，函数有极大值，没有极小值

（2）当时，由（1）知，函数在处有最大值

又因为

方程有解，必然存在，使

，

等价于方程有解，即在上有解

记，

，令，得

当时，，单调递减

当时，，单调递增

所以当时，

所以实数的最小值为