Question

【题目】已知函数，求证：

（1）在区间存在唯一极大值点；

（2）在上有且仅有2个零点.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）首先求出函数的导数，设，对求导，说明其单调性，再根据零点存在性定理可得在有唯一零点，从而得证；

（2）结合（1）的单调性利用零点存在性定理证明上有两个零点，当时无零点.

解：（1）因为，所以，

设，则，则当时，，

所以即在单调递减，

又，，且图像是不间断的，

由零点存在性定理可得在有唯一零点，设为.

则当时，；当时，.

所以在单调递增，在单调递减，

故在存在唯一极大值点.

（2）因为，所以，

设，则，则当时，，

所以即在单调递减，

由（1）知，在单调递增，在单调递减.

又，，所以，

又的图像是不间断的，所以存在，使得；

又当时，，所以在递减，

因，又，又的图像是不间断的，

所以存在，使得；

当时，，，所以，从而在没有零点.

综上，有且仅有2个零点.