【题目】已知函数,求证:
(1)在区间存在唯一极大值点;
(2)在上有且仅有2个零点.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】
(1)首先求出函数的导数,设,对求导,说明其单调性,再根据零点存在性定理可得在有唯一零点,从而得证;
(2)结合(1)的单调性利用零点存在性定理证明上有两个零点,当时无零点.
解:(1)因为,所以,
设,则,则当时,,
所以即在单调递减,
又,,且图像是不间断的,
由零点存在性定理可得在有唯一零点,设为.
则当时,;当时,.
所以在单调递增,在单调递减,
故在存在唯一极大值点.
(2)因为,所以,
设,则,则当时,,
所以即在单调递减,
由(1)知,在单调递增,在单调递减.
又,,所以,
又的图像是不间断的,所以存在,使得;
又当时,,所以在递减,
因,又,又的图像是不间断的,
所以存在,使得;
当时,,,所以,从而在没有零点.
综上,有且仅有2个零点.
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【题目】下列关于简单几何体的说法中正确的是( )
①有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱;
②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;
③有两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;
④空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合是球面.
A.①②B.③④C.④D.②④
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【题目】圆周上有800个点,依顺时针方向标号为,它们将圆周分成800个间隙.今选定某一点染成红色,然后按如下规则,逐次染红其余的一些点:如果第号点已被染红,则可按顺时针方向转过个间隙,再将所到达的那个端点染红.如此继续下去.试问圆周上最多可得到多少个红点?证明你的结论.
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【题目】某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:
喜欢甜品 | 不喜欢甜品 | 合计 | |
南方学生 | 60 | 20 | 80 |
北方学生 | 10 | 10 | 20 |
合计 | 70 | 30 | 100 |
(1)根据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;
(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品.现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边上有一点P的坐标是(3a,a),其中a≠0.
(1)求cos(α)的值;
(2)若tan(2α+β)=1,求tanβ的值.
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【题目】给定两个七棱锥,它们有公共面的底面,顶点、在底面的两则.现将下述线段中的每一条染红、蓝两色之一:,底面上的所有对角线和所有的侧棱.求证:图中心存在一个同色三角形.
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【题目】边长为1的菱形的两对角线交于,过作A2B2∥A1B1交于连结交于,过作A3B3∥A1B1交于,…,这样作下去得以为原点,所在直线为轴,建立平面直角坐标系,设以为半径,圆心在,轴上的一列圆依次相外切(即与外切,),若圆T1与抛物线相切.求证:所有的圆都与抛物线相切.
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