Question

已知两个定点O（0，0），A（3，0），动点M满足 |MO|=

1

2

|MA|，记动点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求直线l：x+y+2=0被C截得的弦长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出M点坐标，直接由|MO|=

1

2

|MA|代入两点间的距离公式化简即可；
（Ⅱ）求出圆C的圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由勾股定理求半弦长，从而得到弦长．

解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），
由|MO|=

1

2

|MA|，得

x2+y2

=

1

2

(x-3)2+y2

，
化简得x²+y²+2x-3=0，
∴动点M的轨迹C的方程为x²+y²+2x-3=0；
（Ⅱ）由x²+y²+2x-3=0，即（x+1）²+y²=4，
∴C是以（-1，0）为圆心，2为半径的圆．
圆心（-1，0）到直线l：x+y+2=0的距离d=

|-1+2|

2

=

1

2

，
∴弦长为2

r2-d2

=2

4- 1 2

=

14

．

点评：本题考查了与直线有关的动点轨迹方程，考查了曲线方程的求法，训练了利用弦心距和圆的半径求弦长，是中档题．