Question

【题目】如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．

(1)求证：AC1∥平面CDB1；

(2)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：

（1）设CB1与C1B的交点为E，连接DE，由三角形中位线定理可证得DE∥AC1，从而可得AC1∥平面CDB1。（2）由DE∥AC1可得∠CED为AC1与B1C所成的角（或其补角），在中，可得，解三角形得，即为所求。

试题解析：

（1）证明：设CB1与C1B的交点为E，连接DE，

∵四边形BCC1B1为正方形，

∴ E是BC1的中点，

又D是AB的中点，

∴DE∥AC1。

又DE平面CDB1，AC1平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1.

(2)解：∵DE∥AC1，

∴∠CED为AC1与B1C所成的角（或其补角）．

在△CED中， ，

∴。

∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为。