【题目】甲、乙俩人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为 ,乙每次击中目标的概率为
. (Ⅰ)记甲恰好击中目标2次的概率;
(Ⅱ)求乙至少击中目标2次的概率;
(Ⅲ)求乙恰好比甲多击中目标2次的概率;
【答案】解:(I)∵甲射击三次,每次击中目标的概率是定值,可以看作是独立重复试验
∴甲恰好击中目标的2次的概率为 =
(II)乙射击三次,每次击中目标的概率是定值,可以看作是独立重复试验
乙至少击中目标两次包含击中两次和击中三次
∴乙至少击中目标2次的概率为 +
=
;
(III)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A,
乙恰击中目标2次且甲恰击中目标0次为事件B1,
乙恰击中目标3次且甲恰击中目标1次为事件B2,
则A=B1+B2,B1,B2为互斥事件.
P(A)=P(B1)+P(B2)=
+
=
+
=
.
∴乙恰好比甲多击中目标2次的概率为 .
【解析】(1)由题意知甲射击三次,每次击中目标的概率是定值,可以看作是独立重复试验,根据独立重复试验的公式得到结果.(2)乙射击三次,每次击中目标的概率是定值,可以看作是独立重复试验,乙至少击中目标两次包含击中两次和击中三次,且这两种情况是互斥的,根据公式得到结果.(3)乙恰好比甲多击中目标2次,包含乙恰击中目标2次且甲恰击中目标0次或乙恰击中目标3次且甲恰击中目标1次,由题意知B1,B2为互斥事件.根据互斥事件和独立重复试验公式得到结果.
【考点精析】利用互斥事件与对立事件对题目进行判断即可得到答案,需要熟知互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同的情形:(1)事件A发生且事件B不发生;(2)事件A不发生且事件B发生;(3)事件A与事件B同时不发生;而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生,其包括两种情形;(1)事件A发生B不发生;(2)事件B发生事件A不发生,对立事件互斥事件的特殊情形.
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【题目】为了研究一种昆虫的产卵数y和温度x是否有关,现收集了7组观测数据列于下表中,并做出了散点图,发现样本点并没有分布在某个带状区域内,两个变量并不呈现线性相关关系,现分别用模型① 与模型;②
作为产卵数y和温度x的回归方程来建立两个变量之间的关系.
温度x/°C | 20 | 22 | 24 | 26 | 28 | 30 | 32 |
产卵数y/个 | 6 | 10 | 21 | 24 | 64 | 113 | 322 |
t=x2 | 400 | 484 | 576 | 676 | 784 | 900 | 1024 |
z=lny | 1.79 | 2.30 | 3.04 | 3.18 | 4.16 | 4.73 | 5.77 |
| | | |
26 | 692 | 80 | 3.57 |
| | | |
1157.54 | 0.43 | 0.32 | 0.00012 |
其中 ,
,zi=lnyi ,
,
附:对于一组数据(μ1 , ν1),(μ2 , ν2),(μn , νn),其回归直线v=βμ+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为: ,
(1)根据表中数据,分别建立两个模型下y关于x的回归方程;并在两个模型下分别估计温度为30°C时的产卵数.(C1 , C2 , C3 , C4与估计值均精确到小数点后两位)(参考数据:e4.65≈104.58,e4.85≈127.74,e5.05≈156.02)
(2)若模型①、②的相关指数计算分别为 .,请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点,求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)平面BEF⊥平面PCD.
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【题目】如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.
(1)求证:AC1∥平面CDB1;
(2)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.
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【题目】某电视台举行电视奥运知识大奖赛,比赛分初赛和决赛两部分.为了增加节目的趣味性,初赛采用选手选一题答一题的方式进行,每位选手最多有5次选题答题的机会,选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛,答对3题者直接进入决赛,答错3题者则被淘汰.已知选手甲答题的正确率为 . (Ⅰ)求选手甲可进入决赛的概率;
(Ⅱ)设选手甲在初赛中答题的个数为ξ,试写出ξ的分布列,并求ξ的数学期望.
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【题目】已知函数f(x)= ,x∈[-1,1],函数g(x)=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值为h(a).
(1)求h(a).
(2)是否存在实数m>n>3,当h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n2,m2]?若存在,求出m,n的值;若不存在,说明理由.
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【题目】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)请画出上表数据的散点图.
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程.
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤.
(参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)
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【题目】已知在平行四边形ABCD中,A(1,2),B(2,1),中心E(3,3).
(1)判断平行四边形ABCD是否为正方形;
(2)点P(x,y)在平行四边形ABCD的边界及内部运动,求的取值范围.
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