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    在中学阶段，对许多特定集合（如实数集、复数集以及平面向量集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容．现设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为⊙，对于A中的任意两个元素α=（a，b），β=（c，d），规定：α⊙β=(
    .
    a-c
    bd
    .
    ，
    .
    da
    cb
    .
    )    ．
    （1）计算：（2，3）⊙（-1，4）；
    （2）请用数学符号语言表述运算⊙满足交换律和结合律，并任选其一证明；
    （3）A中是否存在唯一确定的元素I满足：对于任意α∈A，都有α⊙I=I⊙α=α成立，若存在，请求出元素I；若不存在，请说明理由；
    （4）试延续对集合A的研究，请在A上拓展性地提出一个真命题，并说明命题为真的理由．
    分析：（1）利用题中的定义，利用行列式公式求出值
    （2）利用定义写出交换律，结合律，并用题中的定义证明．
    （3）先假设存在，利用定义写出方程，解得求出即存在，若求不出，则不存在．
    （4）类比实数中的一些运算律写出，并用题中的定义证明．
    解答：解：（1）（2，3）⊙（-1，4）=（5，14）
    （2）设A中的任意三个元素α=（a，b），β=（c，d），γ=（e，f）
    交换律：α⊙β=（ad+bc，bd-ac）=β⊙α结合律：（α⊙β）⊙γ=（adf+bcf+bde-ace，bdf-acf-ade-bce）=α⊙（β⊙γ）
    （3）假设存在I=（x，y），α=（a，b），则I⊙α=α，
    即（x，y）⊙（a，b）=（a，b）?(
    .
    x-a
    yb
    .
    ，
    .
    bx
    ay
    .
    )    =（a，b），
    ①若α=（0，0），显然有I⊙α=α成立；
    ②若α≠（0，0），则
    所以
    bx+ay=a
    -ax+by=b.

    解得x=0，y=1．
    所以，存在I=（0，1）满足：对于任意α∈A，都有α⊙I=I⊙α=α成立．
    （4）①举例计算，如计算（1，-1）⊙（0，-1）等不给分．
    ②计算α⊙α=（2ab，b2-a2）、α⊙（-α）=（-2ab，a2-b2）、（a，b）⊙（1，0）=（b，-a）、（a，b）⊙（0，0）=（0，0）等．
    ③定义“加法”⊕：（a，b）?（c，d）=（a+c，b+d），
    并解释合理性（验证α⊕α=（0，2）⊙α）．
    ④证明消去律成立：（a，b）⊙（c，d）=（a，b）⊙（e，f）?（c，d）=（e，f）．
    ⑤方程α⊙x=e当α≠（0，0）时有解，并求出解x=(
    -a
    a2+b2
    ，
    b
    a2+b2
    )    ．
    ⑥方程α⊙x=β当α≠（0，0）时有解，并求出解x=(
    ad-bc
    a2+b2
    ，
    -ac-bd
    a2+b2
    )    ．
    ⑦定义“逆运算※”，对于A中的任意两个元素α=（a，b）≠（0，0），β=（c，d），
    规定：β※α=(
    ad-bc
    a2+b2
    ，
    -ac-bd
    a2+b2
    )    解释合理性（如6）
    点评：本题考查类比推理、利用题中所给的定义解题是高考中场出现的题型，要重视．
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    （1）计算：（2，3）⊙（-1，4）．
    （2）请用数学符号语言表述运算⊙满足交换律，并给出证明．
    （3）若“A中的元素I=（x，y）”是“对?α∈A，都有α⊙I=I⊙α=α成立”的充要条件，试求出元素I．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在中学阶段，对许多特定集合（如整数集、有理数集、实数集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容．现设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为?，对于A中的任意两个元素α=（a，b），β=（c，d），现规定：α?β=（ad+bc，bd-ac）．
    （1）计算：（2，3）?（-1，4）；     
    （2）A中是否存在元素γ满足：对于任意α∈A，都有γ?α=α成立，若存在，请求出元素γ；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：《第2章 推理与证明》2010年单元测试卷（解析版） 题型：解答题

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    （1）计算：（2，3）⊙（-1，4）．
    （2）请用数学符号语言表述运算⊙满足交换律，并给出证明．
    （3）若“A中的元素I=（x，y）”是“对?α∈A，都有α⊙I=I⊙α=α成立”的充要条件，试求出元素I．

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    科目：高中数学 来源：2009年上海市闸北区高考数学一模试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    在中学阶段，对许多特定集合（如实数集、复数集以及平面向量集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容．现设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为⊙，对于A中的任意两个元素α=（a，b），β=（c，d），规定：α⊙β=．
    （1）计算：（2，3）⊙（-1，4）；
    （2）请用数学符号语言表述运算⊙满足交换律和结合律，并任选其一证明；
    （3）A中是否存在唯一确定的元素I满足：对于任意α∈A，都有α⊙I=I⊙α=α成立，若存在，请求出元素I；若不存在，请说明理由；
    （4）试延续对集合A的研究，请在A上拓展性地提出一个真命题，并说明命题为真的理由．

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