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在中学阶段,对许多特定集合(如实数集、复数集以及平面向量集等)的学习常常是以定义运算(如四则运算)和研究运算律为主要内容.现设集合A由全体二元有序实数组组成,在A上定义一个运算,记为⊙,对于A中的任意两个元素α=(a,b),β=(c,d),规定:α⊙β=
(1)计算:(2,3)⊙(-1,4);
(2)请用数学符号语言表述运算⊙满足交换律和结合律,并任选其一证明;
(3)A中是否存在唯一确定的元素I满足:对于任意α∈A,都有α⊙I=I⊙α=α成立,若存在,请求出元素I;若不存在,请说明理由;
(4)试延续对集合A的研究,请在A上拓展性地提出一个真命题,并说明命题为真的理由.
【答案】分析:(1)利用题中的定义,利用行列式公式求出值
(2)利用定义写出交换律,结合律,并用题中的定义证明.
(3)先假设存在,利用定义写出方程,解得求出即存在,若求不出,则不存在.
(4)类比实数中的一些运算律写出,并用题中的定义证明.
解答:解:(1)(2,3)⊙(-1,4)=(5,14)
(2)设A中的任意三个元素α=(a,b),β=(c,d),γ=(e,f)
交换律:α⊙β=(ad+bc,bd-ac)=β⊙α结合律:(α⊙β)⊙γ=(adf+bcf+bde-ace,bdf-acf-ade-bce)=α⊙(β⊙γ)
(3)假设存在I=(x,y),α=(a,b),则I⊙α=α,
即(x,y)⊙(a,b)=(a,b)=(a,b),
①若α=(0,0),显然有I⊙α=α成立;
②若α≠(0,0),则
所以
解得x=0,y=1.
所以,存在I=(0,1)满足:对于任意α∈A,都有α⊙I=I⊙α=α成立.
(4)①举例计算,如计算(1,-1)⊙(0,-1)等不给分.
②计算α⊙α=(2ab,b2-a2)、α⊙(-α)=(-2ab,a2-b2)、(a,b)⊙(1,0)=(b,-a)、(a,b)⊙(0,0)=(0,0)等.
③定义“加法”⊕:(a,b)?(c,d)=(a+c,b+d),
并解释合理性(验证α⊕α=(0,2)⊙α).
④证明消去律成立:(a,b)⊙(c,d)=(a,b)⊙(e,f)⇒(c,d)=(e,f).
⑤方程α⊙x=e当α≠(0,0)时有解,并求出解
⑥方程α⊙x=β当α≠(0,0)时有解,并求出解
⑦定义“逆运算※”,对于A中的任意两个元素α=(a,b)≠(0,0),β=(c,d),
规定:β※α=解释合理性(如6)
点评:本题考查类比推理、利用题中所给的定义解题是高考中场出现的题型,要重视.
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科目:高中数学 来源: 题型:

在中学阶段,对许多特定集合(如实数集、复数集以及平面向量集等)的学习常常是以定义运算(如四则运算)和研究运算律为主要内容.现设集合A由全体二元有序实数组组成,在A上定义一个运算,记为⊙,对于A中的任意两个元素α=(a,b),β=(c,d),规定:α⊙β=(ad+bc,bd-ac).
(1)计算:(2,3)⊙(-1,4).
(2)请用数学符号语言表述运算⊙满足交换律,并给出证明.
(3)若“A中的元素I=(x,y)”是“对?α∈A,都有α⊙I=I⊙α=α成立”的充要条件,试求出元素I.

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科目:高中数学 来源: 题型:

在中学阶段,对许多特定集合(如实数集、复数集以及平面向量集等)的学习常常是以定义运算(如四则运算)和研究运算律为主要内容.现设集合A由全体二元有序实数组组成,在A上定义一个运算,记为⊙,对于A中的任意两个元素α=(a,b),β=(c,d),规定:α⊙β=(
.
a-c
bd
.
.
da
cb
.
)

(1)计算:(2,3)⊙(-1,4);
(2)请用数学符号语言表述运算⊙满足交换律和结合律,并任选其一证明;
(3)A中是否存在唯一确定的元素I满足:对于任意α∈A,都有α⊙I=I⊙α=α成立,若存在,请求出元素I;若不存在,请说明理由;
(4)试延续对集合A的研究,请在A上拓展性地提出一个真命题,并说明命题为真的理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

在中学阶段,对许多特定集合(如整数集、有理数集、实数集等)的学习常常是以定义运算(如四则运算)和研究运算律为主要内容.现设集合A由全体二元有序实数组组成,在A上定义一个运算,记为?,对于A中的任意两个元素α=(a,b),β=(c,d),现规定:α?β=(ad+bc,bd-ac).
(1)计算:(2,3)?(-1,4);     
(2)A中是否存在元素γ满足:对于任意α∈A,都有γ?α=α成立,若存在,请求出元素γ;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:《第2章 推理与证明》2010年单元测试卷(解析版) 题型:解答题

在中学阶段,对许多特定集合(如实数集、复数集以及平面向量集等)的学习常常是以定义运算(如四则运算)和研究运算律为主要内容.现设集合A由全体二元有序实数组组成,在A上定义一个运算,记为⊙,对于A中的任意两个元素α=(a,b),β=(c,d),规定:α⊙β=(ad+bc,bd-ac).
(1)计算:(2,3)⊙(-1,4).
(2)请用数学符号语言表述运算⊙满足交换律,并给出证明.
(3)若“A中的元素I=(x,y)”是“对?α∈A,都有α⊙I=I⊙α=α成立”的充要条件,试求出元素I.

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