Question

在中学阶段，对许多特定集合（如整数集、有理数集、实数集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容．现设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为?，对于A中的任意两个元素α=（a，b），β=（c，d），现规定：α?β=（ad+bc，bd-ac）．
（1）计算：（2，3）?（-1，4）；     
（2）A中是否存在元素γ满足：对于任意α∈A，都有γ?α=α成立，若存在，请求出元素γ；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据规定：α?β=（ad+bc，bd-ac），代入计算可得结论；
（2）根据新定义，利用γ?α=α，可得

bx+ay=a by-ax=b

（a∈R，b∈R）恒成立，从而可得结论．

解答：解：（1）（2，3）?（-1，4）=（8-3，12+2）=（5，14）
（2）设元素γ=（x，y），α=（a，b），则γ?α=（bx+ay，by-ax，因为γ?α=α．
所以

bx+ay=a by-ax=b

（a∈R，b∈R）恒成立，所以

x=0 y=1

，所以γ=（0，1）满足条件．

点评：本题考查新定义，考查学生的计算能力，属于基础题．