Question

若椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上任一点到其上顶点的最大距离恰好等于该椭圆的中心到其准线的距离，则该椭圆的离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：设椭圆上点为（acosθ，bsinθ）进而求得到上顶点距离的平方进而看

b2

c2

≤1和

b2

c2

＞1时，椭圆上点到上顶点距离恰好是中心到准线距离的最大值，进而求得a和c的不等式关系求得e的范围．

解答：解：设椭圆上点为（acosθ，bsinθ）
其到上顶点距离的平方为（acosθ）²+（b-bsinθ）²=a²+b²-2b²sinθ-c²（sinθ）²
若

b2

c2

≤1，则最大值为a²+b²+

b4

c2

=

a4

c2

所以此时椭圆上点到上顶点距离恰好是中心到准线距离，
所以e的范围满足

b2

c2

≤1，
即：c²≥b²=a²-c²
2c²≥a²
∴

2

2

≤e＜1
若

b2

c2

＞1，则最大值为4b²，它要等于

a4

c2

a⁴=4c2（a²-c²）
所以a²=2c²，此时b²=c²，舍去
故答案为[

2

2

，1)

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生逻辑推理和基本运算能力．