Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，（a，b，c∈R）满足，对任意实数x，都有f（x）≥x，且当x∈（1，3）时，有f（x）≤

1

8

（x+2）²成立．
（1）证明：f（2）=2，若f（-2）=0，求f（x）的表达式
（2）设g（x）=f（x）-

m

2

x，x∈[0，+∞），若g（x）图象上的点都位于直线y=

1

4

的上方，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知f（2）≥2成立，又由f（x））≤

1

8

（x+2）²成立，得f（2）≤

1

8

(2+2)2=2，根据两种情况可得f（2）值；f（-2）=0，由上述证明知f（2）=2，f（x）的表达式中有三个未知数，由两函数值只能得出两个方程，再对任意实数x，都有f（x）≥x，这一恒成立的关系得到(4a-

1

2

)2≤0，由此可以得到a=

1

8

，将此三方程联立可解出三个参数的值，求出f（x）的表达式；
（2）g（x）=

1

8

x2+(

1

2

-

m

2

)x+

1

2

＞

1

4

在[0，+∞）时必须恒成立，即x²+4（1-m）x+2＞0在x∈[0，+∞）恒成立．转化为二次函数图象与x轴在x∈[0，+∞）无交点的问题，由于g（x）的单调性不确定，故本题要分两种情况讨论，一种是对称轴在y轴右侧，此时需要判别式小于0，一类是判别式大于0，对称轴小于0，且x=0处的函数值大于等于0，转化出相应的不等式求解．

解答：解：（1）由条件知：f（2）=4a+2b+c≥2成立，
又另取x=2时，f(2)=4a+2b+c≤

1

8

(2+2)2=2成立，
∴f（2）=2；
∵

f(2)=4a+2b+c=2 f(-2)=4a-2b+c=0

，∴4b=2即b=

1

2

，4a+c=1，
又f（x）≥x恒成立，即ax²+（b-1）x+c≥0在R上恒成立，
∴a＞0且△=（b-1）²-4ac≤0，即a＞0，△=(

1

2

-1)2-4a(1-4a)≤0，
解得：a=

1

8

，b=

1

2

，c=

1

2

，
所以f(x)=

1

8

x2+

1

2

x+

1

2

，
（2）由题意可得：g（x）=

1

8

x2+(

1

2

-

m

2

)x+

1

2

＞

1

4

在[0，+∞）时必须恒成立，即x²+4（1-m）x+2＞0在[0，+∞）时恒成立，
则有以下两种情况：
①△＜0，即16（1-m）²-8＜0，解得1-

2

2

＜m＜1+

2

2

②

△≥0 -2(1-m)≤0 f(0)=2＞0

，解得：m≤1-

2

2

，
综上所述：m∈(-∞，1+

2

2

)．

点评：本题是二次函数的一道综合题，考查到了分类讨论的思想，考查推理论证能力，对分析转化的推理能力要求较高．