设
是由
个实数组成的
行
列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”.
(Ⅰ) 数表如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；
表1
| 1 | 2 | 3 |  |
 | 1 | 0 | 1 |
如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数
的所有可能值；
个实数组成的行列的任意一个数表，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由. (I) 详见解析； (II)
或
；(Ⅲ) 能，理由详见解析．
解析试题分析：：（I）根据题中一次“操作”的含义，将原数表改变第4列，再改变第2行即可；或者改变第2行，改变第4列也可得（写出一种即可）；（II） 每一列所有数之和分别为2，0，-2，0，每一行所有数之和分别为-1，1；①如果操作第三列，第一行之和为2a-1，第二行之和为5-2a，列出不等关系解得a，b范围进而分情况进行第二次操作；②如果操作第一行，易由条件得a的值；（III） 按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和），由负数变为正数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中mn个数之和增加.
解：法1：
法2：
法3：
3分
(II) 每一列所有数之和分别为2，0，
，0，每一行所有数之和分别为
，1;
①如果首先操作第三列，则
则第一行之和为
，第二行之和为
，
这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数，
所以 
或
当时，则接下来只能操作第一行，
此时每列之和分别为
必有
，解得
当时，则接下来操作第二行
此时第4列和为负，不符合题意. 6分
② 如果首先操作第一行
则每一列之和分别为
，
，
，
当
时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉
当
时，，至少有一个为负数，
所以此时必须有，即
，所以
或
经检验，或符合要求
综上： 9分
（III）能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。证明如下：
记数表中第
行第
列的实数为
（
），各行的数字之和分别为
，各列的数字之和分别为
，
，
，数表中
个实数之和为
，则
。记
．
按要求操作一次时，使该行的行和（或该列的列和）由负变正，都会引起
（和
）增大，从而也就使得增加，增加的幅度大于等于
，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，必然小于等于最初的数表中个实数的绝对值之和，可见其增加的趋势必在有限次之后终止。终止之时，必是所有的行和与所有的列和均为非负实数，否则，只要再改变该行或该列的符号，就又会继续上升，导致矛盾，故结论成立。 13分
考点：推理与证明．
科目：高中数学 来源： 题型：解答题
数列
的前
项组成集合
，从集合
中任取
个数，其所有可能的
个数的乘积的和为
（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记
．例如：当
时，
，
，
；当
时，
，
，
．
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）猜想
，并用数学归纳法证明．
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；
均为实数，且
，
，
，求证
，那么x2＋2x－1≠0.
是等差数列，
设
N+），
N+），问Pn与Qn哪一个大？并证明你的结论.
的函数
；
使得
对一切自然数
;
;
，
，则z的虚部为
（i是虚数单位）的共轭复数为