Question

【题目】如图甲，四边形中，是的中点， ．将（图甲）沿直线折起，使二面角为（如图乙）．

（1）求证：⊥平面

（2）求点到平面的距离．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，可知，平面，即，也可证明，根据线面垂直的判断定理可证平面；（2）根据等体积转化，可得点到平面的距离，或是利用空间直角坐标解决.

试题解析：（Ⅰ）证明：如图，取BD中点M，连接AM，ME.

因为AB=AD=，所以AM⊥BD， 因为DB=2，DC=1，BC=，满足：DB 2+DC 2=BC 2， 所以△BCD是以BC为斜边的直角三角形，BD⊥DC，因为E是BC的中点，所以ME为△BCD的中位线，ME∥，ME⊥BD，ME=

∠AME是二面角A-BD-C的平面角，=°.

，且AM、ME是平面AME内两条相交于点M的直线，

，平面AEM，.

，，为等腰直角三角形，，在△AME中，由余弦定理得：

，.

（Ⅱ）解法一：等体积法.

解法二：如图5，以M为原点，MB所在直线为x轴，ME所在直线为y轴，

平行于EA的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则由（Ⅰ）及已知条件可知B(1，0，0)，，，D，C.则

设平面ACD的法向量为=，

则令则z=-2，

记点到平面的距离为d，则，所以d.