Question

16．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c若a=4，b=5，△ABC的面积为5$\sqrt{3}$，则|AB|=$\sqrt{21}$．

Answer 1

分析 根据题意和三角形的面积公式求出sinC，由△ABC是锐角三角形和特殊角的三角函数值求出C，利用余弦定理求出c的值，即可得解．

解答 解：∵a=4，b=5，△ABC的面积为5$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$absinC=5$\sqrt{3}$，则$\frac{1}{2}$×4×5sinC=5$\sqrt{3}$，
解得sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由△ABC是锐角三角形得，C=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC
=16+25-2×4×5×$\frac{1}{2}$=21，
∴c=$\sqrt{21}$，则|AB|=c=$\sqrt{21}$．
故答案为：$\sqrt{21}$．

点评 本题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．