Question

11．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_2n-1=3^n-1，a_2n=2ⁿ，则满足S_n＜500的最大的n值为（　　）

• A． 10
• B． 11
• C． 12
• D． 13

Answer 1

分析 运用等比数列的求和公式及分组求和方法可得S_2n，S_2n-1，分别计算S₁₀，S₁₁，S₁₂，S₁₃，即可得到所求最大值n．

解答 解：a_2n-1=3^n-1，a_2n=2ⁿ，
可得S_2n=（1+3+…+3^n-1）+（2+4+…+2ⁿ）
=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1）+2（2ⁿ-1），
S_2n-1=S_2n-a_2n=$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1）+2ⁿ-2．
则S₁₀═$\frac{1}{2}$（3⁵-1）+2（2⁵-1）=183，
S₁₁═$\frac{1}{2}$（3⁶-1）+2⁶-2=426，
S₁₂═$\frac{1}{2}$（3⁶-1）+2（2⁶-1）=490，
S₁₃═$\frac{1}{2}$（3⁷-1）+2⁷-2＞500．
可得满足S_n＜500的最大的n值为12．
故选：C．

点评 本题考查等比数列的求和公式的运用，考查分组求和的方法，考查运算能力，属于中档题．