Question

19．已知复数z=$\frac{a}{2+i}$+1（a∈R）．
（1）若z∈R，求z；
（2）若z在复平面内对应的点位于第一象限，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得a值，则z可求；
（2）由（1）可得z=$\frac{2a}{5}+1-\frac{a}{5}i$，由z在复平面内对应的点位于第一象限，可得实部与虚部均大于0，联立不等式组求解．

解答 解：（1）∵z=$\frac{a}{2+i}$+1=$\frac{a（2-i）}{（2+i）（2-i）}+1$
=$\frac{2a}{5}-\frac{a}{5}i+1$=$\frac{2a}{5}+1-\frac{a}{5}i$∈R，
∴$-\frac{a}{5}=0$，即a=0．
则z=1；
（2）由（1）知，z=$\frac{2a}{5}+1-\frac{a}{5}i$，
∵z在复平面内对应的点位于第一象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2a}{5}+1＞0}\\{-\frac{a}{5}＞0}\end{array}\right.$，解得$-\frac{5}{2}$＜a＜0．
∴a的取值范围是（-$\frac{5}{2}，0$）．

点评 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．