Question

8．甲袋中装有5张奖券，其中3张10元的，2张20元的；乙袋中装有5张奖券都是10元的，所有奖券外形一样，现从甲袋中任取两张放入乙袋，搅拌均匀后再从乙袋中任取两张放入甲袋．
（Ⅰ）求甲袋奖券中有且仅有一张20元的概率；
（Ⅱ）求甲袋中奖券总额X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设从甲袋中取出的2张奖券中20元面值的有x张，从乙袋中取出的2张奖券中20元面值的有y张，该事件记为[x，y]，利用互斥事件概率加法公式能求出甲袋奖券中有且仅有一张20元的概率．
（Ⅱ）X的可能取值为50，60，70，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望EX．

解答 解：（Ⅰ）设从甲袋中取出的2张奖券中20元面值的有x张，从乙袋中取出的2张奖券中20元面值的有y张，该事件记为[x，y]．
甲袋奖券中有且仅有一张20元的概率
P=P（[2，1]+[1，0]）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{7}^{2}}+\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{7}^{2}}$=$\frac{10}{21}$．（5分）
（Ⅱ）X的可能取值为50，60，70．
P（X=50）=P（[2，0]）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{7}^{2}}$=$\frac{1}{21}$，
由（Ⅰ）得P（X=60）=$\frac{10}{21}$，
P（X=70）=P（[2，2]）+P（[1，1]）+P（[0，0]）
=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{7}^{2}}$+$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{6}^{1}}{{C}_{7}^{2}}$+$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{7}^{2}}{{C}_{7}^{2}}$=$\frac{10}{21}$．
∴X的分布列为

X	50	60	70
P	$\frac{1}{21}$	$\frac{10}{21}$	$\frac{10}{21}$

数学期望EX=50×$\frac{1}{21}$+60×$\frac{10}{21}$+70×$\frac{10}{21}$=$\frac{450}{7}$．（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．