Question

20．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为单位向量，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，若|$\overrightarrow{c}$|=2，则（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）的最大值是5+2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由向量的平方即为模的平方，计算可得|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{5}$，再由向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域即可得到所求最大值．

解答 解：$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为单位向量，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{4{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{4+0+1}$=$\sqrt{5}$，
若|$\overrightarrow{c}$|=2，
则（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）=$\overrightarrow{a}$²+（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{c}$²=1+2$\sqrt{5}$cos＜2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$＞+4
=5+2$\sqrt{5}$cos＜2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$＞，
当cos＜2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$＞=1时，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）取得最大值5+2$\sqrt{5}$．
故答案为：5+2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，以及余弦函数的值域的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．