Question

12．已知函数f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$x²-（a+1）x（a∈R）．
（ I）若x=2为函数f（x）的极值点，求a的值．
（ II）讨论函数f（x）在区间（0，2）内的单调性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，由f′（2）=0列式求得a值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f′（x）=$\frac{{x}^{2}-（a+1）x+a}{x}$，令g（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a），然后对a进行分类讨论可得函数f（x）在区间（0，2）内的单调性．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$x²-（a+1）x，
∴f′（x）=$\frac{a}{x}+x-（a+1）$，
又x=2为函数f（x）的极值点，
∴$f′（2）=\frac{a}{2}+2-a-1=0$，解得a=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f′（x）=$\frac{a}{x}+x-（a+1）$=$\frac{{x}^{2}-（a+1）x+a}{x}$（0＜x＜2）．
令g（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）．
当a=1时，g（x）≥0，即f′（x）≥0，函数f（x）在区间（0，2）内单调递增；
当a≤0时，g（x）在（0，1）内小于0，在（1，2）内大于0，即f′（x）在（0，1）内小于0，在（1，2）内大于0，
∴f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，2）内单调递增；
当0＜a＜1时，g（x）在（0，a）∪（1，2）上大于0，在（a，1）上小于0，即f′（x）在（0，a）∪（1，2）上大于0，在（a，1）上小于0，
∴f（x）在（0，a），（1，2）上单调递增，在（a，1）上单调递减；
当1＜a＜2时，g（x）在（0，1）∪（a，2）上大于0，在（1，a）上小于0，即f′（x）在（0，1）∪（a，2）上大于0，在（1，a）上小于0，
∴f（x）在（0，1），（a，2）上单调递增，在（1，a）上单调递减；
当a≥2时，g（x）在（0，1）内大于0，在（1，2）内小于0，即f′（x）在（0，1）内大于0，在（1，2）内小于0，
∴f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，2）内单调递减．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．