Question

4．如图，在底面为矩形的四棱椎P-ABCD中，PB⊥AB．
（1）证明：平面PBC⊥平面PCD；
（2）若异面直线PC与BD所成角为60°，PB=AB，PB⊥BC，求二面角B-PD-C的大小．

Answer 1

分析 （1）由AB⊥BC，PB⊥AB，PB∩BC=B，可得AB⊥平面PBC
又CD∥AB，即可得CD⊥平面PCD；
（2）以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设PA=AB=1，BC=a，则B（0，0，0），C（0，0，a），P（1，0，0），D（0，1，a）
由  $\frac{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{PC}||\overrightarrow{BD}|}$=cos60°．得a=1，
求出平面PBD的法向量，平面PCD的法向量，即可求得二面角B-PD-C的大小

解答 解：（1）证明：∵四棱椎P-ABCD的底面为矩形，∴AB⊥BC．
∵PB⊥AB，PB∩BC=B，∴AB⊥平面PBC
∵CD∥AB，∴CD⊥平面PCD；
（2）解：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设PA=AB=1，BC=a，则B（0，0，0），C（0，0，a），P（1，0，0），D（0，1，a）
∴$\overrightarrow{PC}=（-1，0，a）$，$\overrightarrow{BD}=（0，1，a）$，
∵异面直线PC与BD所成角为60°∴$\frac{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{PC}||\overrightarrow{BD}|}$=cos60°．
∴$\frac{{a}^{2}}{1+{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，解得a=1，或a=-1（舍）
设平面PBD的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=y+z=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{n}=（0，1，-1）$
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=-{x}_{1}+{y}_{1}+{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CD}={y}_{1}=0}\end{array}\right.$可取$\overrightarrow{m}=（1，0，1）$
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞=\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{1}{2}$
∵二面角B-PD-C为锐角．∴二面角B-PD-C的大小为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了向量法求二面角的平面，直线与平面垂直的判定，属于中档题．