Question

19．已知a＞0，且a≠1，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+3，x≤2}\\{1+lo{g}_{a}x，x＞2}\end{array}\right.$存在最小值，则f（2a）的取值范围为[3，+∞）．

Answer 1

分析 讨论当x≤2时，运用二次函数的最值求法，可得最小值；再由当x＞2时，讨论0＜a＜1，a＞1，由单调性，结合题意，可得1+log_a2≥2，解方程可得a的范围，结合对数函数的单调性，计算即可得到所求范围．

解答 解：当x≤2时，f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2，
当且仅当x=1时，f（x）取得最小值2；
当x＞2时，若0＜a＜1，则f（x）＜1+log_a2＜2，显然不满足题意；
若a＞1，要使f（x）存在最小值，必有1+log_a2≥2，
解得1＜a≤2．
即2＜2a≤4，
f（2a）=1+log_a（2a）=2+log_a2=2+$\frac{1}{lo{g}_{2}a}$，
由0＜log₂a≤1，可得$\frac{1}{lo{g}_{2}a}$≥1，
可得f（2a）≥3，
故答案为：[3，+∞）．

点评 本题考查分段函数的最值问题的解法，考查分类讨论思想方法，以及对数函数的单调性的应用，考查运算能力，属于中档题．